SDUT 离散数学实验 3 - 代数系统测试。主要由判断、单选和填空组成，判断 15 道，单选 9 道，填空 3 道。

判断题

1-1

设 <G,*> 为无限循环群，则 G 中有且仅有一个生成元。 （F）

1-2

若集合 A 的基数大于等于 2，那么 A 上的代数系统的幺元和零元绝不会相等。（T）

1-3

代数系统 <I，・> 不是群。（・是普通乘法运算。） （T）

1-4

群 G 的子群可以和群 G 有不同的幺元。（F）

1-5

质数阶的群只有平凡子群。 （T）

1-6

质数阶的群都是循环群。（T）

1-7

设 R 是实数集合，+ 是普通的加法，・是普通乘法，定义 R 上的一个二元运算 *，任意的 a,b∈R，有： a * b = a+b-2・a・b <R,*> 是群吗？。（F）

1-8

设 R 是实数集合，+ 是普通的加法，定义 R 上的一个二元运算 *，任意的 a，b∈R，有：a * b = a+b-8 <R,*> 是群吗？（T）

1-9

n 阶群，对于 n 的每一个因子 d 都有且仅有一个 d 阶子群。（F）

1-10

有限循环群中必有一个元素的阶和群的阶相等。（T）

1-11

n 阶循环群，对于 n 的每一个因子 d 都有且仅有一个 d 阶子群。（T）

1-12

整数加群是无限循环群。（T）

1-13

代数系统 <Q-{0}，・> 不是群。（・是普通乘法运算。）（F）

1-14

一个质数阶的群必定是循环群，并且每个与幺元不同的元素都可做生成元。（T）

1-15

整数加群的生成元是 1 和 - 1。（T）

单选题

2-1

判断正误：循环群的子群一定是循环群 ( )。

2-2

设 G={0,1,2，…，n-1}，n∈N，n>=2，定义 G 上的二元运算 * 为：任意 a,b∈G，a*b=（a・b）（mod n ，即求 n 的余数）・是普通乘法运算。 请问 <G,*> 是 ( )。

2-3

设 R 是实数集合，+，. 是普通的加法和乘法，定义 R 上的一个二元运算 *，任意的 a，b∈R，有：a * b = a+b-a・b<R,*> 是独异点吗？( )。

2-4

2-5

2-6

2-7

2-8

2-9